задачка (грустное)

[ile_eli]

Верно ли, что для любой последовательностидействительных чисел a_0, a_1, ... существует бесконечно гладкая функция f(x) такая, что ее  n-ая производнаю в нуле равна n-ому члену этой последовательности, f^{(n)}(0)=a_n ?
(если кто думает, что соответствующий полином решает задачу, так нет: для многих последовательностей можно написать выражение для такого полинома, да только он не сойдется ни для одного x кроме нуля)
Эту задачку Панеях дал на своем семинаре в Технионе почти 30 лет назад. Рассказал, что у Бурбаки эта задачка описана как открытая проблема, а какой-то студент в 60-е годы (не трудно догадаться, кто это был) ее решил.
Так вот, Дима Йофе сразу эту задачку решил. Это произвело впечатление на остальных присутствующих. Через несколько лет Дима стал профессором на, не знаю, как по-русски, Industrial Engineering and Management в том же Технионе (теорией вероятности занимался). А вчера мне рассказали, что он умер. 57 лет было.

Написал, надо поставить ссылку на Панеяха, загуглил - и вот. Для читающих на иврите - обязательно прочтите, для не читающих - год назад Ор Шалит (тоже профессор в Технионе) написал, как он случайно стал математиком - благодаря тому, что в последний семестр записался на курс Панеяха. Написал, естественно, на смерть Панеяха.
Ну тогда еще история. Мы с П.З. ходили на курс Панеяха, уж не помню, как он назывался, но, главной книгой курса был Хермандер. В конце пришли на экзамен, а Панеях и меня и П. спрашивает: какая оценка вам нужна? Ну я сказал, кажется, 95, П. тоже что-то типа того. Панеях говорит, отлично: будете ходить и сдавать, пока не наберете на 95. И мы с П. месяц учились в хевруте, раз в 2-3 дня приходили сдавать, что-то отвечали, где-то Панеях находил у нас пробелы и отправлял их заполнять.

Comments

[xaxam.livejournal.com]

Это классическая теорема анализа, верная даже в комплексной области: любой расходящийся ряд Тэйлора суммируется к функции, аналитической в любом секторе с углом меньше 360 градусов. Доказана Борелем в начале 20 века.

Педагогические методы БПП известны своей неортодоксальностью.

[ile-eli.livejournal.com]

че-то не пойму. Видимо, это другое утверждение. Там функция всего лишь C_0^\inf, а аналитической принципиально быть не может.

[xaxam.livejournal.com]

Аналитической в полной окрестности нуля - не может, а аналитической в открытом секторе с вершиной в нуле (в частности, на открытой вещественной полуоси) с предписанной асимптотикой каждой производной, когда z стремится к нулю - может.

[mar-shim.livejournal.com]

на открытой вещественной полуоси - а на полной оси?

[xaxam.livejournal.com]

Можно сделать всё на двух открытых полуосях, а в ноль оно само продолжится без усилий. А можно в теореме Бореля взять с самого начала сектор с углом больше 180 градусов, включающий обе открытые полуоси.

В любом случае выход из засады связан с существованием плоских в секторах функций. Подкручивая на такие функции, можно сделать почти всё, что угодно, так же, как и в вещественной C^\infty-дифференциальной геометрии. Жёсткость аналитических функций покупается ценой полноценной окрестности точки, включающей маленький кружочек.

[xaxam.livejournal.com]

https://ncatlab.org/nlab/show/Borel%27s+theorem#:~:text=Borel's%20Theorem%20(also%20called%20Borel's,these%20as%20its%20actual%20derivatives

[xaxam.livejournal.com]

А Дима Иоффе - сын Алика Иоффе, технионского эмеритуса с математики?

[ile-eli.livejournal.com]

Да.

[xaxam.livejournal.com]

А сам Алик ещё жив? Я давно ничего о нём не слышал...

[ile-eli.livejournal.com]

Думаю, да. Я его последний раз больше года назад видел, но если б умер, я бы знал наверное. Его племянник- мой друг, на его семейных торжествах и встречаю Алика.

[xaxam.livejournal.com]

Большой привет ему при случае. Он изумительный дядька.

[ile-eli.livejournal.com]

о, да! Кроме личного, в первом же семестре в Технионе я пошел на его курс, типа "введение в оптимизацию", до половины не дотянул, но впечатлиние до сих пор ого-го. Туда еще на первую лекцию какие-то 2 девочки с таасия-ве-ниhуль забрели, на пятой минуте попросили напомнить, что такое L2, а дальше сидели и дрожали, как будто попали в к инопланетянам.

[mar-shim.livejournal.com]

Печально. Диму я знал по аспирантскому "общежитию" (соседний подъезд). И уже тогда был наслышан о его уровне.

[mar-shim.livejournal.com]

А Панеях как-то рассказал , что его тут записали по приезде פנך. Но он уже был учёный (ивриту) и добился исправления.

[xaxam.livejournal.com]

БорисПетрович был многогранный человек, но в отличие от разных других многогранников одна из его граней сияла особенно ярко, будучи ежедневно протираема. Но не место и не время.

[ile-eli.livejournal.com]

Да ладно. Ничего плохого он никому не делал, хорошего - очень старался сделать, часто получалось. Очень лично чувствовал красоту в математике и довольно многих смог этим заразить (как видно из текста Ора, но я это и вживую видел).

[xaxam.livejournal.com]

>>> Ничего плохого он никому не делал

Это самое главное, безусловно.

[xaxam.livejournal.com]

פנייך (в моей версии). Иврита он по приезде почти не знал (очень энергично учился и очень быстро начал читать лекции на иврите, страшно этим гордясь), но имя своё уже умел написать.

[vhalperin.livejournal.com]

Когда-то давно мне предлагали такую задачу. По-моему, там нужно было суммировать ряд из x^n на отрезке длиной ε_n, сглаженной к нулю вне отрезка, а вся хитрость была в выборе длины отрезка. Тогда же мне объяснили, что получившаяся функция никакого интереса для науки не представляет.

А кто такой Панеах?

[ile-eli.livejournal.com]

да, так и есть (по обоим пунктам). А Панеях был профессор в Технионе, в 90-м из Москвы приехал, его и там многие знали. Очень яркая личность.